高中数学的化归转换

　　大家 听说过借力打力的故事吗，或者你们听说过二两拨千斤的俗语吗。着都是典型的会变通的例子。数学解题的高手们，都会“借力打力”，这就是数学“化归转换思想”的典型应用。大家学习数学的时候不要总说难，你们要掌握合适的学习方法才可以。今天我们就告诉大家什么是高中数学的化归转换。

　　●典例示范

　　[题1] 已知f (x)= 试求 f (-5 )+ f (-4 )+…+ f (0 )+…+ f (6 )的值.

　　[分析]　若分别求f (x)在x= -5，-4，…，0，…，6时的12个值然后相加. 这不是不行，只是工作量太大，有没有简单的办法?我们想“借用”等差数列求和时“倒序相加”的办法. 于是，我们关心f (x)+f (1-x)的结果.

　　[解析] 因为 f (x)+ f (1-x) =

　　=

　　=

　　所以 f (-5 )+ f (-4 )+…+ f (0 )+…+ f (6 )

　　= [(f (-5 )+ f (6 ))+(f (-4)+ f (5 ))+…+(f (6 )+ f (-5 ))]

　　= [f (1-x )+ f (x )]×6 =

　　[点评] 这里，“借来”的不是等差数列本身的性质，而是等差数列求和时曾用过的办法——倒序相加法.

　　●对应训练

　　1.已知sin2α+sin2β+sin2γ=1(α、β、γ均为锐角)，那么cosαcosβcosγ的最大值等于 .

　　2.求已知离心率e= ,过点(1,0)且与直线l:2x-y+3=0相切于点P(- ),长轴平行于y轴的椭圆方程.

　　3.若椭圆 (a>0)与连结A(1,2),B(3,4)两点的线段没有公共点,求a的取值范围.

　　●参考答案

　　1. 命sin2α=sin2β=sin2γ= ,则cos2α=cos2β=cos2γ= .α、β、γ为锐角时，cosα=cosβ=cosγ= .

　　∴cosαcosβcosγ= .

　　(注：根据解题常识，最大值应在cosα=cosβ=cosγ时取得).

　　2.解析 按常规,设椭圆中心为(x0,y0),并列出过已知点P的切线方程,联立消参可求得椭圆方程.

　　若借极限思想,将点椭圆视为椭圆的极限情况,则可简化运算过程.

　　已知e= ,则a2=5b2.设长轴平行于y轴且离心率e= 的椭圆系为

　　(x+ ，把点P(- 看做当k→0时的极限情形(点椭圆),则与直线l:2x-y+3=0相切于该点的椭圆系即为过直线l与“点椭圆”的公共点的椭圆系方程:

　　(x+

　　又所求的椭圆过(1，0)点,代入求得λ=- .

　　因此所求椭圆方程为x2+ =1.

　　点评 将点椭圆视为椭圆的极限情况处理问题,减少了运算量,简化了运算过程.

　　3.解析 若按常规,需分两种情况考虑:

　　①A,B两点都在椭圆外;

　　②A,B两点都在椭圆内.

　　若借用补集思想则避免了分情况讨论,使计算简洁.

　　设a的允许值的集合为全集I={a|a∈R,a>0},先求椭圆和线段AB有公共点时的取值范围.

　　易得线段AB的方程为y=x+1,x∈[1,3],

　　怎么样，同学们。你们读完本文是不是有所收获呢，，你们有没有从文中得到有关数学学习方面的启示呢。学习数学就不能呆板，要懂得变通。希望大家大家都能掌握高中数学的化归转换。